Ước chung và bội chung là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 6 của các em học sinh trung học cơ sở. Vậy ước chung và bội chung là gì? Ước chung lớn nhất là gì? Bội chung nhỏ nhất là gì? Lý thuyết và bài tập về ước chung và bội chung?… Hãy cùng vieclam24.vn tìm hiểu về chủ đề này cùng một số nội dung liên quan qua bài viết dưới đây nhé!

Ước chung là gì?

• Ước chung của hai hay nhiều số là ước chung của tất cả các số đó.

Nếu: a⋮xb⋮xc⋮x⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒x∈UC(a,b,c)

• Bội chung của hai hay nhiều số là bội chung của tất cả các số đó.

Nếu: x⋮ax⋮bx⋮c⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒x∈BC(a,b,c)

Ước chung lớn nhất là gì?

• ƯCLN của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.
• Các số nguyên tố cùng nhau là các số có ƯCLN bằng 1.
• Để tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Bội chung nhỏ nhất là gì?

• BCNN của hai hay nhiều số là số lớn nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.
• Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đã cho.

Kiến thức về ước chung và bội chung cần ghi nhớ

Cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Ví dụ: Tìm ƯCLN (18;30)

Giải:

• Bước 1: Phân tích các thừa số ra số nguyên tố

18=2.32

30=2.3.5

• Bước 2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3
• Bước 3: Vậy ƯCLN (18;30) = 2.3 = 6

Lưu ý về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

• Tích của hai số tự nhiên khác 0 bằng tích của ƯCLN và BCNN của chúng:  a.b = ƯCLN (a;b).BCNN (a,b)
• Nếu tích a.b chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a⋮m.
• Một cách khác để tìm ƯCLN của hai số a và b (với a > b) là chia số lớn cho số nhỏ.
• Nếu a⋮b thì ƯCLN (a,b) = b
• Nếu phép chia a cho b có số dư r1, lấy b chia cho r1
• Nếu phép chia b cho r1 có số dư r2, lấy r1 chia cho r2
• Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi số dư bằng 0 thì số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm.

Bài tập minh họa ước chung và bội chung

Bài 1: Tìm số tự nhiên A có bốn chữ số sao cho đó chia cho 131 thì dư 112, chia cho 132 thì dư 97 nhưng chia hết cho 99.

Giải:

Theo đề bài, ta có:

A = 131p + 112 = 132q + 97

Hay 131p = 132q – 15 = 131q + (q – 15)

⇒q–15⋮131⇒q=131x+15(x∈N)

mà  A = 132q + 97 = 132. (131x + 15) = 132 .131x + 1980

Vì A có bốn chữ số nên x = 0 và 1980 : 99 = 20

Vậy số cần tìm là A = 1980.

Bài 2: Cho a = 123456789; b = 987654321.

1. Tìm ƯCLN của (a; b)
2. Tìm số dư trong phép chia BCNN (a; b) cho 11.

Giải:

1. Ta có: a⋮9,b⋮9 (vì tổng các chữ số của nó chia hết 9)

Mặt khác b – 8a = 9 nên nếu ƯC (a; b) = d thì 9⋮d

Vậy mọi ƯC của a, b đều là ƯC của 9 hay 9 = ƯCLN (a; b)

2. Vì BCNN(a;b)=a.bUCLN(a;b)=a.b9=a9.b

Nhưng a9.b=11m+3

b9=11n+5

Vậy BCNN (a,b) = 11p + 4

Vậy số dư cần tìm là 4.

Bài 3:

1. Tìm a∈N∗, biết: a⋮378,a⋮594
2. Tìm b∈N∗, biết: 112⋮b,280⋮b

Giải:

1. a⋮378,a⋮594⇒a=BCNN(378;594)

Ta có:

378=2.33.7

594=2.33.11

Vậy a = BCNN (378;594)

2. 112⋮b,280⋮b⇒b=UCLN(112;280)

Ta có:

112=24.7

280=23.5.7

Vậy b = ƯCLN (112; 280) = 23.7=56

Hy vọng những kiến thức trên sẽ đáp ứng được nhu cầu của bạn khi nghiên cứu và tìm hiểu chủ đề ước chung và bội chung. Chúc bạn luôn học tốt!